苏格拉底：现在针对受教育者和未受教育者的实质，来打这样一个比方。想象一下，有座地下室，好像一个洞一样，跟外边有一道很长的廊道相通，光可以通过廊道照进洞中，而这道光的宽度正好跟洞持平。洞中住了一些人，他们自幼便生活在这里，只能望着前方洞的后墙，无法行走，无法扭头，因为他们的头部、脖子、腿都被捆绑起来了。一堆火正在他们身后很远、略高处燃烧。在洞外这堆火跟这些囚徒中间有一条路，路边建了一道墙。墙很矮，表演木偶戏的演员将木偶举到墙上，为观众表演，这道墙便是他们建造的一道隔离墙，隔开了他们和观众。
格劳孔：我能想象。
苏格拉底：然后，我们再想象有些人举着各种各样的器具，以及用木材、石块等制成的人和动物模型，从墙后头经过，从墙对面能看到他们举的这些东西。你能想象，这些经过的人部分讲话，部分沉默。
格劳孔：你这个比方很奇异，这些被囚禁的人也很奇异。
苏格拉底：不是这样的，这些人跟我们没有区别。除了他们面对的洞穴墙壁上火焰照出的影子，你觉得他们还能看见自己或伙伴的什么东西吗？请回答。
格劳孔：要是他们的脖子受限，始终无法动弹，怎么可能看见其余什么东西？
苏格拉底：那他们除了后边经过的人所举东西的投影，还能看见这些东西的什么？
格劳孔：自然看不见。
苏格拉底：若被囚禁之人能相互交流，那他们是否会在谈到自己看见的投影时，断言这就是事物自身？
格劳孔：肯定会这样。
苏格拉底：若对面的墙壁因某个经过的人制造了某种声响，而发出回音，那被囚禁之人便会据此判定，是对面墙壁上的投影发出了这样的声音，是这样吗？
格劳孔：肯定是的。
苏格拉底：所以他们肯定想不到，除了投影，以上这些东西还拥有何种真实存在。
格劳孔：这是毋庸置疑的。
苏格拉底：那若他们能恢复自由，纠正之前的错误，请你想象一下，他们会有何种表现？想象一下，若他们之中有个人忽然被解开枷锁，不得不站起身来，四下走动、观望，仰头看那堆火，此时他会如何？在这样做的过程中，他会很难受，且因为头晕眼花，根本看不到那些真实的东西，而先前他只能看见它们的投影而已。你觉得，他要是听到别人说，他之前习惯看的所有东西都是虚幻的，现在才看到了相对真实的东西，向这些相对真实、实际存在的东西扭转、靠拢，那他会怎么说？难道你不觉得，要是有人指引他看所有从墙上经过的东西，迫使他说出每种东西的名称，他便会无言以对，且会觉得跟当前看见的真实事物相比，自己先前看见的投影显得更加真实？
格劳孔：是要真实很多！
苏格拉底：若有人逼迫他去看那堆火，他会觉得眼睛疼，因此转身跑去看原先那些投影。他能把后者看得一清二楚，并确定它们比其余人指出的那些真实事物更加清晰，也更加真实。他会这样吗？
格劳孔：会的。
苏格拉底：难道你不觉得，他若被人强迫走上曲折陡峻的上坡路，不许中途折返，要一直走到洞外，看到洞外的阳光，如此被逼着行走，他会非常难受且愤怒，并会在阳光照耀下眼冒金星，当前所谓真实存在的事物，他一个都看不清，是这样吗？
格劳孔：要一次性都看清，确实不现实。
苏格拉底：所以我觉得，应该给他一段时间，让他慢慢适应，然后他才能在洞外地势较高的地方看清事物。最容易看清的应该是投影，紧随其后的是水面上人和其余事物的投影，然后才是事物自身。他看完这些东西，可能就会产生这样一种感受：跟白天看太阳、阳光相比，夜晚看天象、天空、月亮、星星的光芒，要更简单一些。
格劳孔：这是自然的。
苏格拉底：我觉得，到了这时，他应该就能不再借助水面或是其余媒介显示的投影看太阳，而能直接去看太阳原本存在的地方，看太阳自身，看其本来面目了。
格劳孔：肯定是这样的。
苏格拉底：然后，他应该就能推导出，是太阳导致了季节的变换，年复一年的轮回，是太阳掌控着这个能被看见的世界中的万事万物，也正因为太阳，之前他们才能以迂回的方式，看见那些东西。
格劳孔：他应该能在随后推导出这种结论，这是显而易见的。
苏格拉底：回顾原先在洞中的生活，当时的智力水准，还有现在依然未能获得自由的同伴，他便会为同伴感到抱歉，为自己的改变感到欣慰，你觉得是这样吗？
格劳孔：肯定是的。
苏格拉底：你觉得，这个已经获得自由的人，还会对以下奖励怀有热忱吗？先前那些被囚禁之人会举行选举，其中有些人擅长分辨出现的投影，对通常情况下，投影出现的先后顺序记忆最为深刻，所以最擅长预测之后将出现何种投影，凭借这点在选举中获得荣耀。另外，他会妒忌被囚禁之人敬重的首领，与之抢夺洞中的权力吗？还是他宁可在外面的世界，过着荷马笔下被穷人奴役的艰苦生活，也不想再过回原先被囚禁的生活，跟那些被囚禁之人持有相同的观点？
格劳孔：我认为，他不会希望过回原先被囚禁的生活，哪怕要为此承受各种折磨。
苏格拉底：那你觉得，他若又返回自己原先在洞中的位子，又会如何？忽然返回地洞，远离阳光，在黑暗之中，他的双眼会不会无法看到任何事物？
格劳孔：肯定会。
苏格拉底：他还没有充足的时间适应黑暗，而这需要一段比较长的时间。他的双眼此时还看不清东西，若有人要求他跟一直被囚禁于此的人进行“投影评定”比赛，他便会沦为笑柄，不是吗？大家会表示，他的眼睛因为他去上边逛了一圈，所以看不见了，去上边这件事，就算只是想一想，都是没有价值的，难道不是吗？若他们可以抓住那个想要给予他们自由，带他们去上边的人，将其杀死，难道他们不会这么做吗？
格劳孔：他们肯定会这么做。
苏格拉底：亲爱的格劳孔，接下来，我们要将地洞比喻成能够看见的世界，将火比喻成太阳的功能，务必要将这个比方全部用到之前提到的事情上。你心急想听我的解释，若你能在以下两种过程之间建立关联，便能领悟我的解释：其一是从地洞上升到上边的世界，在上边的世界看到东西的过程；其二是灵魂向能够知道的世界上升的过程。而除了神明，任何人都不知道这种解释正确与否。可我始终认为，最后在能够知道的世界中看到的事物，且是付出巨大心血才看到的事物，便是善的观念。我们必然能在看到它之后推导出，所有事物中对的和美的成分，确实都起因于它；在能够看见的世界中，光明及其源头便是它；在能够知道的世界中，真理与理智的最大源头也是它；在个人生活或是公共生活中，所有能理智做事的人，必然发现了善的观念。
格劳孔：我对我能理解的内容都没有异议。
苏格拉底：那请你也认同我的以下观点，不要吃惊于会出现以下状况：人们达到这种高度后，心灵便始终对停留在上边的真实环境中，怀有强烈的欲望，不想再去处理俗世中的小事。我们不应吃惊会出现这种状况，除非我们的比方有失妥当。
格劳孔：我们是不应为此感到吃惊。
苏格拉底：你会吃惊一个人在以下情况下，表现得很窘迫很滑稽吗？他从神圣的观察中回归俗事，还没有完全适应黑暗，看清周围的事物，便被逼到法庭或其余场所，与人就正义的投影或是制造投影的木偶，就从来没有看到过正义自身的人想象出来的正义观，展开辩论。
格劳孔：我完全不会吃惊。
苏格拉底：可所有聪明人都知道，视力模糊分为两种，性质各不相同，分别对应着不同的起因：其一是从明亮的地方来到黑暗的地方，其二是从黑暗的地方来到明亮的地方。相同的事情也会发生在灵魂身上，这点聪明人都能明白。他不会想都不想就去笑话视力模糊，因此无法看清楚的灵魂，而会先调查灵魂为何会视力模糊，是因为从比较明亮的生活走进了黑暗，还没有适应黑暗，还是因为从愚昧的黑暗走进了比较明亮的生活，还没有适应明亮。他据此判断，其中一种经验和生活之路很幸福，另外一种却很让人同情。跟从下边到上边的明亮处相比，从上边到下边的这种更好笑，但前提是他希望把这当成笑话看。
格劳孔：你说得有理有据。
苏格拉底：若是这样，我们就一定要对这些事怀有以下观点：跟一些人在自己的本职工作中宣扬的内容相比，教育其实是另外一回事。就像往盲人眼里输入视力，这些人宣布自己可以向灵魂输入其原本没有的知识。
格劳孔：他们确实这么说过。
苏格拉底：不过，根据我们当前的论述，任何人的灵魂都存在一种能力，即知识，任何人学习的器官都好像眼睛。眼睛不能在全身方向不变的情况下，从黑暗走进光明。而灵魂作为一个整体也是一样，一定要改变这个世界，最终让自己的“眼睛”能从正面看到真实存在和最光明的真实存在，这是不是就是所谓善？
格劳孔：是。
苏格拉底：因此，此处可能要用到一种技术，让灵魂改变方向，过程中尽量花费最小的精力，实现最大的效果。这种技术认为灵魂自身是有视力的，不过要极力推动视力改变方向，因为其无法保持正确的方向，或没有看向应该看向的方向。至于要在灵魂中制造视力，并非这种技术要做的工作。
格劳孔：这种技术存在的可能性很大。
苏格拉底：所以心灵的其余美德，好像跟身体的优点很接近。身体的优点源自出生后的教育与实践的培育，不是先天就有的。不过，心灵的优点却能恒久保持自己的能力，其性质好像的确很神圣。其会因选择了不同的方向，实用与利益兼备，或无用与害处兼备。你是否留意过，时常被称为聪明的坏人的那种人拥有何其锐利的眼光？他们的心灵很小，他们的眼光在自己留意的方面却非常锐利。他们之所以“小”，是因为视力被逼要效忠恶，不是因为视力很差，这导致他们做坏事的数量，将随着他们视力的增强而增加。
格劳孔：的确如此。
苏格拉底：可若是从很小的时候，心灵的这部分便受到磨炼，以至于像摆脱了沉重的负担一样。在这个变动的世界中，原本就存在这种沉重的负担，在这种负担的拖累下，人类的灵魂视力仅能看到人们在下边被感官放纵紧紧纠缠着不放，比如放纵自己的食欲。这些人心灵中相同的部分，会在摆脱了这种沉重的负担后，转而冲向真理，用如今看自己眼前事物时的好视力，去看真理。
格劳孔：这是很有可能的。
苏格拉底：那以下两种人都没有能力成为国家统治者——一是没有接受过教育，对真理没有了解的人；二是被准许将毕生精力用于研究知识的人。这是种正确的结论，且是以上论述必将导致的结论，难道不是吗？因为一个人若没有接受过教育，便无法针对同一个生活目标，进行自己所有的个人活动和公共活动。至于知识研究者，尚在人世时便开始想象步入乐园，远离人世的生活，便不会主动做哪怕一件真实的事。
格劳孔：没错。
苏格拉底：所以作为该国的建立者，我们的责任便是强迫最出色的心灵得到最高境界的知识——我们之前曾提到过这种知识——发现善，然后升至善的高度。不过，我们会在他们升至那样的高度，并欣赏够了以后，禁止他们再做当前的事。
格劳孔：你在说什么？
苏格拉底：我是说，禁止他们停留在上边，不想再到下边跟被囚禁之人为伍，跟后者共同承担大大小小的艰辛，以及大大小小的荣耀。
格劳孔：你的意思是，我们要在他们能过上相对高层次的生活时，要求他们去过相对低层次的生活，忍受这种糟糕的待遇？
苏格拉底：朋友，我们立法的目的在于让整座城邦作为整体，获得幸福，而非让城邦中任何阶层获得独有的幸福，你又把这件事忘了。通过游说或是强迫，立法让所有公民协调统一，共同分享自己能为集体带来的好处。其将城邦公民塑造成这样，就是为了让他们团结一致，变成一个城邦公民的整体，不可分割，而不是让他们各自去做自己的事。
格劳孔：你说得没错，我是把这件事忘了。
苏格拉底：我们中间的哲学家从我们这里得到的待遇是很公正的，哪怕是被迫关注、保护其余公民的观点，同样是种公正的待遇。格劳孔，这点你要明白。我们会跟这些哲学家说：“出生在其余国家的哲学家并非政府有意培育塑造的，纯粹是依靠自己的努力，才成为哲学家，因此其拒绝从事艰苦的政治工作，是合情合理的。任何才能出众的人，只要其才能不是源自培育，而是源自自己的努力，那其便不必背负半点儿人情债，不必有想要回报他人培育恩情的热忱。然而，为了你们以及其余城邦公民，我们培育你们成为蜂房里的蜂王和统治者。跟其余人相比，你们接受的教育更出色也更完整，你们可以在两种生活中，展现出更出众的才能。所以轮到你们当值时，你们一定要到下边去，跟其余人一起生活，一起适应不清晰的投影。由于你们已经见识过了真正的美、正义、善，因此你们只要适应了，就能看得远比他们更加清晰，就能分辨出各不相同的投影及其展现的事物。所以你们能跟我们共同管理国家，而这种管理是十分清晰的，有别于现在大部分国家，那些国家的管理一片混沌，其统治者为了那些投影和他们所谓的至善，即权力，斗得不可开交。若城邦中确定的统治者是最不热衷权力之人，那城邦的管理必然能达到最大程度的善与稳定。若反过来，那城邦的管理必然能达到最大程度的恶。实情便是如此。”
格劳孔：这是必然的。
苏格拉底：听完这番话，我们的学生还会拒绝遵从命令，拒绝在轮到自己当值时，肩负起辛苦管理国家的工作吗？但大多数日子，他们还是被准许在上边生活的。
格劳孔：我们提出了这种正义的要求，针对的又是正义之人，他们不可能拒绝。可他们跟现在所有国家的统治者都截然相反，必然是把职位当成了一项无法拒绝的工作，才选择接受。
苏格拉底：我亲爱的朋友，这是因为要得到一个管理出色的国家，首先必须为将来的统治者提供一种比成为国家统治者更好的生活。因为由真正富裕的人担当统治者，仅限于这种国家。这种富裕是指对幸福生活不可或缺的善与智慧的富裕，而非有很多金子。若国家将来的统治者是穷人，管理就好不到哪里去。这些穷人没得到过什么好处，担当公职后便想以权谋私。因为一旦大家开始为争夺统治大权相互厮杀，通常的结果便是在毁灭国家的同时，毁灭统治者自身。
格劳孔：一点儿没错。
苏格拉底：你能列举出在真正的哲学生活以外，还有什么可以对政治权力表示轻蔑的？
格劳孔：我真的列举不出来。
苏格拉底：可我们要避免内部纷争，必须把权力交由对权力并不热衷的人掌控。
格劳孔：这是必然的。
苏格拉底：除了以下两种人，你还能逼迫什么人承担保卫城邦的责任：第一种人最清楚怎样用最好的方式管理国家；第二种人能获得其余酬劳，拥有比政治生活更好的生活？
格劳孔：没有了。
苏格拉底：我们现在开始研究怎样塑造这种才能出众的人，怎样让他们好像传说中从冥界升至天堂的人一样，被带到上边光明的所在，对此你有异议吗？
格劳孔：我自然没有异议。
苏格拉底：从隐约的黎明升至真正的白昼，即我们所谓真正哲学的真实存在，过程好像并不像翻贝壳游戏那么简单。
格劳孔：必然不会那么简单。
苏格拉底：既然如此，我们就应寻觅何种知识能做到这一点，不是吗？
格劳孔：是的。
苏格拉底：格劳孔，什么知识能这样带着灵魂从变动的世界走出去，走进真实存在的世界？我忽然回想起我们曾提及，青年时期，这种人一定要成为征战沙场的勇士，有这么回事吗？
格劳孔：有这么回事。
苏格拉底：所以还有一种才能，同样是我们正在寻觅的这种知识必不可少的。
格劳孔：是什么？
苏格拉底：对战士而言，其并非不能发挥作用。
格劳孔：一定要能发挥作用，这是自然的，除非根本没有这种可能。
苏格拉底：我们之前安排战士们接受两种教育，一是体操，二是音乐。
格劳孔：没错。
苏格拉底：体操会对身体素质的强弱发挥作用，因此其关注的对象是一切事物的诞生与死亡。
格劳孔：这是显而易见的。
苏格拉底：所以体操跟我们寻找的那种知识，并不是一回事。
格劳孔：没错。
苏格拉底：我们之前描绘的音乐教育，跟这种知识是一回事吗？
格劳孔：音乐对应着体育，音乐借助习惯为保卫者提供教育，借助曲调培育精神方面的协调统一，但并非知识，还借助节奏培育大方高雅，借助纯属虚构或偏重于真实的故事语言，培育相互接近的品性，这些渠道你都还有印象吧。然而，其中没有一种能追逐你所追逐的善。
苏格拉底：你记得一点儿没错，因为这里面并不包含这种元素，实情就是如此。啊，格劳孔，既然这样，我们到底在寻找什么知识？谈到手工艺技术，好像全都带着些卑微。
格劳孔：的确。但在音乐、体操、手工艺之外，还有什么知识？
苏格拉底：若我们想不到其余知识，就来列举一样东西，大家都能用到。
格劳孔：什么东西？
苏格拉底：比如所有技术、思想、科技知识都能用到的一种东西，所有人都务必要学习这种东西，其是最关键的东西之一。
格劳孔：是什么？
苏格拉底：就是区分“一”“二”“三”，也就是算数，这是很普通的一种东西。实际上，这是所有技术与科学必然要用到的，不是吗？
格劳孔：是的。
苏格拉底：战术也是如此，不是吗？
格劳孔：这是肯定的。
苏格拉底：所以每回巴莱米德斯现身，阿伽门农身为将军，都会变得滑稽至极。你有没有留意过，巴莱米德斯宣布自己发明了数字，随后便对特洛伊军队的各个分支做了重组，把船和其余所有东西都数清楚了，好像此前没数清楚过一样？你有没有留意过，阿伽门农却因为不懂得算数，对自己统领的步兵数目，应该并无清楚的认知？你觉得阿伽门农在那样的情况下，算是一名怎样的将军？
格劳孔：若实情真像你说的那样，我认为他作为一名将军，是非常荒诞、滑稽的。
苏格拉底：既然如此，规定军人必须具备算数的能力，是否有必要？
格劳孔：统领军队乃至只是做最平凡的人，都必须具备这项能力。
苏格拉底：我觉得这就是那种知识，你觉得呢？
格劳孔：什么知识？
苏格拉底：我们正在寻觅的本能引导思想的知识，其中好像就包含算数。不过，尽管这种知识的确能指引灵魂抵达真实存在，但能通过正确的方式，对其加以利用的人，并不存在。
格劳孔：你在说什么？
苏格拉底：我会把我内心所想的，竭尽所能跟你解释清楚。我会把我怎样在内心之中将以下两种东西区分开来，解释给你听：一种东西拥有我谈到的那种引导的力量，另一种东西则没有。若你肯继续跟我探讨，并对我说出你认同与不认同的东西，那我的想法正确与否，便会更加清晰明了。
格劳孔：你说吧。
苏格拉底：那好，由于感官完全能对一些感觉做出判断，因此不必对这些感觉进行理智思考，对此你是了解的。不过，也有一些感觉不是感官能正确判断的，要借助理智才行。
格劳孔：很明显，你是在说远方或是画里的东西。
苏格拉底：我的话你根本没听懂。
格劳孔：那要怎么理解？
苏格拉底：我所谓不必进行理智思考的东西，即不会在同一时间引发截然相反的感觉的东西。我所谓要进行理智思考的东西，即会在同一时间引发截然相反的感觉的东西。感官要正确判断这种东西，是不可能的。要说这关系到距离，这种说法并不成立。你听到我的以下阐释，就会有更加清晰的了解。举个例子，我这儿有小拇指、无名指和中指三根手指。
格劳孔：看到了。
苏格拉底：我拿手指作为例子，是将其视为在很近的距离内能看到的东西，你要记住。此外还有一点，需要你留意。
格劳孔：是什么？
苏格拉底：每根手指看起来都是手指，没什么不同，在此不必理会其是中间还是两侧的手指，以及黑白粗细等问题。因为此处并不存在任何事物，会逼迫普通人的心灵提问或是思索到底何谓手指，心灵也从来没有接收过手指同时是手指的反面这样的视觉信号。
格劳孔：没错。
苏格拉底：这样的感觉不会要求或是引发理智思考，这是很自然的。
格劳孔：是的。
苏格拉底：不过，依靠视觉，能够对手指的大小做出区分吗？对视觉来说，手指在中间还是两侧有区别吗？而触觉能对粗细软硬做出区分吗？一切感官在感知这种性质时，其实都存在不足，难道不是吗？要说其发挥作用的方式，可以先以触觉为例，与硬关联，必然也与软关联，所以触觉会认为一样东西软硬兼备，并将这样的信号发给心灵，难道不是吗？
格劳孔：是的。
苏格拉底：若心灵听触觉说一样东西软硬兼备，那心灵是不是必然会问何谓触觉所谓硬？或相应的感官将重的说成轻的，轻的说成重的，所谓轻重又是指什么？
格劳孔：确实是这样的，心灵要对这种让自己困惑的信号进行研究。
苏格拉底：所以灵魂面对这种处境，会先把算数能力和理智叫过来，尽可能研究收到的是一个信号还是两个信号。
格劳孔：这是自然的。
苏格拉底：若是两个，那这两个是否各不相同？
格劳孔：没错。
苏格拉底：所以理智会将各不相同的两个，视为彼此分离的两个，否则心灵便会将它们想成一个而非两个。
格劳孔：是这样的。
苏格拉底：我们是不是提到过，视觉看到的大与小是一起的，而非彼此分离的？
格劳孔：是提到过。
苏格拉底：而理智想看清楚大小，只能让二者彼此分离，不再合为一体，跟视觉的方法截然相反。
格劳孔：没错。
苏格拉底：那我们接下来要解决的第一个问题，是不是到底何谓大与小？
格劳孔：这是毋庸置疑的。
苏格拉底：我们为何要采用两个称呼“能够知道的事物”和“能够看到的事物”，原因就在于此。
格劳孔：一点儿没错。
苏格拉底：为了尽量解释清楚，我刚刚才会提到，有些事物要求思考，有些事物则没有这种要求，第一种事物即能在同一时间给感官带来相反刺激的事物，第二种事物即不能做到这一点的事物。
格劳孔：我已经搞清楚了，我也持相同的观点。
苏格拉底：那在你看来，数字“一”属于其中哪种事物？
格劳孔：我不清楚。
苏格拉底：那请你自己推导，推导的依据是我们之前谈到的内容。因为“一”自身若是视觉或其余感官能清楚感知的，那它便无法跟我们列举手指的例子时做出的解释一样，引导心灵掌握真实存在。可若“一”身边时常出现与之相反的东西，二者看起来同样都是“一”，这时马上就会产生一种需求，要对这二者做出判定，这将导致陷入困惑的心灵想要研究、思索到底何谓“一”。心灵就这样被对“一”的研究，引向了对真实存在的关注。
格劳孔：同一样东西，我们能看到其在同一时间既是“一”，也是无数，所以对“一”的视觉，的确最能突显你说的这一特征。
苏格拉底：若对“一”来说，该原理是成立的，那对其余一切数字来说，该原理是不是也是成立的？
格劳孔：这是自然的。
苏格拉底：而算术与数学都跟数字相关。
格劳孔：这是自然的。
苏格拉底：该学科似乎能引领灵魂走向真理。
格劳孔：没错，其超越了其余所有学科。
苏格拉底：所以我们寻觅的那种知识应该包括该学科。军人要统领军队，一定要掌握该学科。哲学家要变成真正的算术者，一定要摆脱能够改变的世界，学会真理，因此也要掌握该学科。
格劳孔：没错。
苏格拉底：而我们的保卫者兼具军人和哲学家这两种身份。
格劳孔：这是自然的。
苏格拉底：所以格劳孔，我们在立法时，好像应将算术这门学科确定下来，这是其应得的待遇。任何人日后想在城邦中担任重要职位，我们都应游说其学习这门学科，这种学习是深层次的，最终要能利用自身纯粹的理智，看清数字的实质，只是粗略地学习一番，是不够的。我们让他们学习该学科目的在于，在战争期间应用，并促使心灵从变动的世界走向真理与真实存在，而不是为方便做生意，为成为大生意人、小商小贩做准备工作。
格劳孔：说得非常正确。
苏格拉底：另外，我认为，大家若是为获得知识，而非为做生意才学习算术，那在我们实现该目的的过程中，算术作为一种工具，便能称得上用处多多。
格劳孔：这是为什么呢？
苏格拉底：算术极力带动心灵往上爬，逼迫心灵探讨纯粹的数字，坚决拒绝探讨跟能够看见或触碰的事物相关的数字，这些我们刚才都已谈到了。因为精通算术者会觉得尝试从理论方面切分“一”的人很可笑，他们不会认同这种做法，但你在切分“一”时，若采用了除法，他们便会采用乘法应对，步步紧逼，永远都不允许“一”看起来是由很多部分组合而成的，而并非“一”，这些你肯定都已了解了。
格劳孔：你说得一点儿没错。
苏格拉底：格劳孔，要是这种人被问及：“亲爱的朋友，如你们所言，所有‘一’都跟其余‘一’相等，没有任何差异，其本身也不会分成多个部分，既然这样，你们在讨论什么数字呢？”你觉得，之后会发生什么情况，他们会如何回应？
格劳孔：我觉得，他们会说自己谈到的数字，不能用理智以外的任何一种方法掌握。
苏格拉底：所以朋友，很明显，这门学科能逼迫灵魂借助纯粹的理智追求真理，因此对我们来说的确无法缺少，这点你也看到了。
格劳孔：的确如此。
苏格拉底：而且生来算术很好的人，多半也很擅长其余各门学科的学习。算术培训还能让反应慢的人反应快一些，另外还有其余好处，这些你是否留意过？
格劳孔：是的。
苏格拉底：我还觉得，跟算术相比，很少有学科难度更高或与之持平。
格劳孔：的确。
苏格拉底：所以我们要借助算术，教育我们的公民中天分最高者，无论如何不能忽略该学科。
格劳孔：我也是这么想的。
苏格拉底：那我们就确定这也是课程之一，接下来再思考之后那门课程有无价值。
格劳孔：什么课程？难道是几何学？
苏格拉底：没错。
格劳孔：显而易见，几何学在军事方面很有价值。因为指挥者是否学习过几何学，对以下几点影响很大：建立营寨，划分区域，行军打仗期间的队形排列，包括纵队、横队等。
苏格拉底：但稍微学一些几何学和算术，已经足以应对军事需求了。在几何学中，艰深的内容占据了绝大多数，它们能不能让大家在掌握善的观念这件事上，表现得更加游刃有余，便是我们要思考的对象。所有逼迫心灵向心灵必须极力看清楚的最神圣部分——即真实——转变的学科，都能发挥上述作用，这便是我们的观点。
格劳孔：一点儿没错。
苏格拉底：它的作用源自它逼迫灵魂去看真实，可它若是逼迫灵魂去看能够改变的世界，便会失去自身的作用。
格劳孔：这也是我们的观点。
苏格拉底：所以跟几何学专家的语言展现的内容相比，几何学发挥了截然相反的作用。就算只是粗略理解几何学的人，也不会反对该观点。
格劳孔：为什么？
苏格拉底：尽管几何学专家的语言并非出自自愿，但的确非常滑稽。举个例子，几何学完全以知识作为自己真正的目的，但在探讨化方、绘图、延长之类的问题时，几何学专家却都像是在做某种事情，所有推理都以实际应用为目的。